Curvas de nivel  

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Para trazar la gráfica de una función de dos variables, en el espacio tridimensional, es de mucha ayuda construir un mapa compuesto por un conjunto de curvas, que permiten imaginar de alguna manera, la superficie.
 
 

Definición. Sea z=f(x, y), y sea k una constante real perteneciente al recorrido de f.

El conjunto de todos los puntos (x, y) del plano XY  tales que f(x, y)=k, se denomina curva de nivel de la superficie z=f(x, y)  en k.
 
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Notación. Denotando por  Nk(f) a la curva de nivel de f en k, se tiene:
Nk(f)={(x, y) en  IR2 / f(x, y)=k }.
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Nota. Para cada  k en el recorrido de  f, existe la curva de nivel  Nk(f)
generándose una  familia de curvas de nivel de la función   f
   
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Ejemplo 1. Curvas de nivel del paraboloide  elíptico: z = x2+ y2
 
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N0(f) :  x2+ y2=0
N1(f) :  x2+ y2=1
N2(f) :  x2+ y2=2
N3(f) :  x2+ y2=3
N4(f) :  x2+ y2=4
N5(f) :  x2+ y2=5
 
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Ejemplo 2.   Curvas de nivel del paraboloide hiperbólico: z= y2-x2
 
N0(f) :   y2-x2=0
N1(f) :   y2-x2=1
N2(f) :   y2-x2=2
N3(f) :   y2-x2=3
N4(f) :   y2-x2=4
N5(f) :   y2-x2=5
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N-1(f) :   y2-x2= -1
N-2(f) :   y2-x2= -2
N-3(f) :   y2-x2= -3
N-4(f) :   y2-x2= -4
 
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Observaciones
 
  • Cada curva de nivel Nk(f) determina una curva (curva de contorno, o traza horizontal) en la superficie  z=f(x,y), paralela a la  curva de nivel, a una distancia k del plano XY.
  • Las curvas de nivel corresponden a las proyecciones ortogonales de las trazas horizontales de la gráfica de  f, sobre el plano XY. 
    • Estas permiten representar la superficie mediante un mapa plano.


Ejemplo 3.   Curvas de nivel y trazas horizontales de la función   z = x2+ y2,  para k= 1,  2,  3,  4 y 5.
 
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Ejemplos de Gráficos de superficies y curvas de nivel
 

Curvas de nivel
Superficie

Paraboloide elíptico:   
z = x2+y2

Superficie cónica (de una hoja):
 


Paraboloide hiperbólico
z = x2 - y2
 

Superficie cilíndrica
y = x2

Hiperboloide hiperbólico (una hoja)
 

Plano
z = x+y-5

 
Superficie

Ejemplos de Gráficos de superficies y curvas de nivel (animaciones)



Curvas de nivel de:

Un cerro
Un cráter
Una loma


Nota. El trazado de las curvas de nivel se constituye en un método para graficar funciones de dos variables. Muchos software computacionales utilizan este método para  graficar  superficies.
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Funciones de tres variables.

Para funciones de tres variables, el conjunto solución de la ecuación u=f(x, y, z)  es subconjunto de IR4.

Se puede tener una idea de algún comportamiento de una función de tres variables, determinando y analizando las supeficies de nivel, que se definen de manera equivalente a la curvas de nivel.
 

Definición. Las superficies de nivelde  u=f(x, y, z) son superficies del espacio  IR3 cuyas
ecuaciones son de la forma  f(x, y, z) = k siendo k una constante real, perteneciente al recorrido de f

 

Universidad de Talca

  

Instituto de Matemática y Física