Nombre del curso

COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS

Descripción del curso

LA INTRODUCCION AL ANÁLISIS FUNCIONAL

Objetivos

ESTE CURSO TIENE COMO OBJETIVO LA INTRODUCCION DE LOS ESTUDIANTES  A LOS CONCEPTOS Y RESULTATOS BASICOS DEL ANÁLISIS FUNCIONAL.  APRENDIZAJE DE LAS TECNICAS TIPICAS PARA ESTE RAMO DE MATEMATICAS. 

Contenidos

·        LEMA DE ZORN. ESPACIOS LINEALES. BASES DE HAMEL. ESPACIOS GENERADOS POR CONJUNTOS DE ELEMENTOS, ESPACIOS COCIENTES, SUMA DE CONJUNTOS, SUMA DIRECTA DE ESPACIOS LINEALES.

·        CONJUNTOS CONVEXOS Y SUS PROPIEDADES. COMBINACIONES CONVEXAS. ENVOLVENTES CONEXAS. CONJUNTOS EXTREMOS Y SUS PROPIEDADES.

·        OPERADORES LINEALES Y SUS PROPIEDADES. OPERADORES LINEALES DEGENERADOS Y SEUDO INVERTIBLES.

·        ÍNDICE DE UN OPERADOR SEUDO INVERTIBLE. TEOREMA SOBRE EL ÍNDICE DEL PRODUCTO DE OPERADORES. TEOREMA SOBRE LA ESTABILIDAD DEL ÍNDICE.

·        LA FORMA ANALÍTICA DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH PARA LOS ESPACIOS REALES. TEOREMA DE HAHN-BANACH PARA ESPACIOS LINEALES SOBRE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

·        LAS FORMAS GEOMÉTRICAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH: TEOREMAS DE SEPARACIÓN. FUNCIONAL DE CALIBRACIÓN (THE GAUGE) DE UN CONJUNTO CONVEXO, SUS PROPIEDADES.

·        TEOREMA DE AGNEW-MORSE.

·        EXTENSIÓN DE FUNCIONALES LINEALES POSITIVOS: TEOREMA DE MARK KREIN.

·        LIMITES DE BANACH, TEOREMA DE SU EXISTENCIA.

·         FUNCIONES DE CONJUNTOS FINITAMENTE ADITIVAS, POSITIVAS Y TRASLACIÓN INVARIANTES.

·         ESPACIOS NORMADOS. NORMAS EQUIVALENTES, SUMAS DE ESPACIOS, ESPACIOS  COCIENTES. ESPACIOS DE BANACH. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO NORMADO.

·         ESPACIOS B(S), C[0,1], L1, LP, P > 1, ESPACIOS WM,P DE SOBOLEV. DESIGUALDAD DE HOLDER.

·        ESPACIOS SEPARABLES. BASES DE SCHAUDER. LEMA DE RIESZ SOBRE LA EXISTENCIA DE VECTORES CASI ORTOGONALES EN ESPACIOS NORMADOS. NO COMPACIDAD DE LA ESFERA UNITARIA EN LOS ESPACIOS DE DIMENSIÓN INFINITA.

·        NORMAS ESTRICTAMENTE CONVEXAS (O ESTRICTAMENTE SUBADITIVAS) Y UNIFORMEMENTE CONVEXAS, RELACIÓN ENTRE ESTOS CONCEPTOS. EJEMPLO DE  LA DISTANCIA NO ALCANZABLE ENTRE UN PUNTO Y UN SUBESPACIO CERRADO.

·        DISTANCIA ENTRE UN CONJUNTO CERRADO CONVEXO Y UN PUNTO EN UN ESPACIO DE BANACH UNIFORMEMENTE CONVEXO (CON APLICACIONES A ESPACIOS DE HILBERT).

·        ISOMETRÍAS. TEOREMA DE MAZUR-ULAM. UN EJEMPLO: ISOMETRÍAS DE C0.

·         PRODUCTO ESCALAR, SUS PROPIEDADES. DESIGUALDAD DE SCHWARZ. ESPACIOS DE  HILBERT. COMPLEMENTO ORTOGONAL A UN SUBESPACIO CERRADO.

·        ESPACIO DUAL H* DE FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ-FRECHET. LEMA DE LAX-MILGRAM.

·        SISTEMAS Y BASES ORTONORMALES. EXISTENCIA DE BASES ORTONORMALES EN ESPACIOS DE HILBERT. DESIGUALDAD DE BESSEL. IDENTIDAD DE PARSEVAL. SERIES DE FOURIER EN H.

·         DESCRIPCIÓN DE ESPACIOS SEPARABLES DE HILBERT. MÉTODO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDT.

·        MEDIDAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS CON RESPECTO A LA MEDIDA DADA, 2 DEFINICIONES. TEOREMA DE RADON-NIKODYM.

·        ESPACIO DUAL X*, SU COMPLETITUD. TEOREMA DE KAKUTANI.  4 TEOREMAS SOBRE LA EXTENSIÓN DE FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS.  “SPANNING CRITERION”.

·        ESPACIOS REFLEXIVOS: EJEMPLOS. TEOREMA DE MILMAN (CONVEXIDAD UNIFORME IMPLICA REFLEXIVIDAD). TEOREMA DE CLARKSON, LA PRIMERA DESIGUALDAD DE CLARKSON (PARA P >2). ESPACIOS DUALES A LP,  P  ≥1.

·        NO REFLEXIVIDAD DE ESPACIOS C[A,B], L1(R) CON SUS NORMAS CANÓNICAS. ESPACIOS QUE TIENEN SUS ESPACIOS DUALES SEPARABLES. SUBESPACIOS CERRADOS DE ESPACIOS REFLEXIVOS. NORMA DE UN FUNCIONAL EN EL ESPACIO REFLEXIVO.

·        FUNCIÓN DE SOPORTE DE UN CONJUNTO EN EL ESPACIO NORMADO, SUS PROPIEDADES. ENVOLVENTE CONVEXA CERRADA DE UN CONJUNTO, SU DESCRIPCIÓN EN TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN DE SOPORTE.

·        TEOREMAS DE APROXIMACIÓN DE MUNTZ Y DE RUNGE.

·        CONVERGENCIA DÉBIL Y DÉBIL-*: EJEMPLOS. TEOREMA DE SCHUR (CONVERGENCIA DÉBIL EN L1(R)). 

·        TEOREMA DE TOEPLITZ (CONVERGENCIA HACIA LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC). TEOREMA DE TOEPLITZ PARA LAS SUCESIONES. TEOREMA DE STOLZ.

·        TEOREMA DE BANACH-STEINHAUS (EL PRINCIPIO DE ACOTACIÓN UNIFORME) Y SUS APLICACIONES.

·        1R TEOREMA DE MAZUR (CONJUNTO CONVEXO CERRADO EN NORMA ES CERRADO CON RESPECTO A LA CONVERGENCIA DÉBIL). RELACIÓN ENTRE LA ENVOLVENTE CONVEXA CERRADA DE UN CONJUNTO A Y LA ENVOLVENTE CONVEXA SECUENCIALMENTE DÉBILMENTE CERRADA DE A. 2DO TEOREMA DE MAZUR (RELACIÓN ENTRE LA CONVERGENCIA DÉBIL Y CONVERGENCIA FUERTE DE COMBINACIONES CONVEXAS).

·        COMPACIDAD DÉBIL SECUENCIAL DE UNA BOLA CERRADA UNITARIA EN UN ESPACIO REFLEXIVO. TEOREMA DE EBERLEIN-SMULIAN. DISTANCIA ENTRE UN CONJUNTO CERRADO CONVEXO Y UN PUNTO EN UN ESPACIO REFLEXIVO.

·        COMPACIDAD DÉBIL-* SECUENCIAL. TEOREMA DE HELLY. RELACIÓN ENTRE LA CONVERGENCIA DÉBIL Y DÉBIL-* EN X*.

·        EL MÉTODO DE GALERKIN. TEOREMA DE HERGLOTZ-RIESZ.

·        TOPOLOGÍAS DÉBIL Σ(X,X*) Y DÉBIL-* Σ(X*,X), DESCRIPCIÓN DE SUS BASES, PROPIEDAD DE SEPARACIÓN DE HAUSDORFF. LA CLAUSURA DE LA ESFERA UNITARIA EN Σ(X,X*), EN UN ESPACIO NORMADO DE DIMENSIÓN INFINITA.

·        LA CLAUSURA DÉBIL DE UN CONJUNTO CONVEXO Y CERRADO (EN TOPOLOGÍA DE NORMA). TEOREMA DE BANACH-ALAOGLU. UN CRITERIO DE COMPACIDAD DE CONJUNTOS CERRADOS EN LA TOPOLOGÍA DÉBIL-* Σ (X*,X).

·        TEOREMA DE KAKUTANI (EL CRITERIO DE COMPACIDAD DE UNA BOLA UNITARIA EN LA TOPOLOGÍA DÉBIL Σ(X,X*)). TEOREMA DE GOLDSTINE.

·        ESPACIOS LINEALES TOPOLÓGICOS LOCALMENTE CONVEXOS. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN DE CONJUNTOS POR FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS.  CLAUSURA DÉBIL DE CONJUNTOS CONVEXOS.

·        TEOREMA DE CARATHEODORY. THEOREMA DE KREIN-MILMAN.

·        ESPACIO DE OPERADORES LINEALES CONTINUOS, SU COMPLETITUD. EL OPERADOR INDUCIDO [M]: X/KER M à Y, SU NORMA.  PROPIEDADES DE LA IMAGEN R(M) = MX EN EL CASO CUANDO CODIM R(M) ES FINITA. EL OPERADOR CONJUGADO M*: Y* à X*, SU NORMA. OPERADOR LINEALES CERRADOS, EJEMPLOS.

·        EL PRINCIPIO DE BANACH DE APLICACIÓN ABIERTA. TEOREMA DE BANACH SOBRE EL OPERADOR INVERSO.  TEOREMA SOBRE LA GRAFICA CERRADA, SUS APLICACIONES. 

·        TEOREMA DE HELLINGERTOEPLITZ.  PROYECTORES Y SUS PROPIEDADES

Modalidad de evaluación

2 PRUEBAS, TAREAS SEMANALES,  UNA EXPOSICION. LA NOTA FINAL SE CALCULARÁ PONDERANDO EN UN 70% EL PROMEDIO DE NOTAS DE DOS PRUEBAS, EN UN 15% EL PROMEDIO DE NOTAS DE 10-12 TAREAS Y EN UN 15% LA NOTA OBTENIDA EN LA EXPOSICION.

Bibliografía

·        H. BREZIS, FUNCTIONAL ANALYSIS, SOBOLEV SPACES ANDPARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ». UNIVERSITEXT. SPRINGER, NEW YORK, 2011.

·        P.D.  LAX, “FUNCTIONAL ANALYSIS,  FIRST EDITION”, JOHN WILEY & SONS,  2002

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