Nombre del curso |
COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS |
Descripción del curso |
LA INTRODUCCION AL ANÁLISIS FUNCIONAL |
Objetivos |
ESTE CURSO TIENE COMO OBJETIVO LA INTRODUCCION DE LOS ESTUDIANTES A LOS CONCEPTOS Y RESULTATOS BASICOS DEL ANÁLISIS FUNCIONAL. APRENDIZAJE DE LAS TECNICAS TIPICAS PARA ESTE RAMO DE MATEMATICAS. |
Contenidos |
· LEMA DE ZORN. ESPACIOS LINEALES. BASES DE HAMEL. ESPACIOS GENERADOS POR CONJUNTOS DE ELEMENTOS, ESPACIOS COCIENTES, SUMA DE CONJUNTOS, SUMA DIRECTA DE ESPACIOS LINEALES. · CONJUNTOS CONVEXOS Y SUS PROPIEDADES. COMBINACIONES CONVEXAS. ENVOLVENTES CONEXAS. CONJUNTOS EXTREMOS Y SUS PROPIEDADES. · OPERADORES LINEALES Y SUS PROPIEDADES. OPERADORES LINEALES DEGENERADOS Y SEUDO INVERTIBLES. · ÍNDICE DE UN OPERADOR SEUDO INVERTIBLE. TEOREMA SOBRE EL ÍNDICE DEL PRODUCTO DE OPERADORES. TEOREMA SOBRE LA ESTABILIDAD DEL ÍNDICE. · LA FORMA ANALÍTICA DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH PARA LOS ESPACIOS REALES. TEOREMA DE HAHN-BANACH PARA ESPACIOS LINEALES SOBRE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. · LAS FORMAS GEOMÉTRICAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH: TEOREMAS DE SEPARACIÓN. FUNCIONAL DE CALIBRACIÓN (THE GAUGE) DE UN CONJUNTO CONVEXO, SUS PROPIEDADES. · TEOREMA DE AGNEW-MORSE. · EXTENSIÓN DE FUNCIONALES LINEALES POSITIVOS: TEOREMA DE MARK KREIN. · LIMITES DE BANACH, TEOREMA DE SU EXISTENCIA. · FUNCIONES DE CONJUNTOS FINITAMENTE ADITIVAS, POSITIVAS Y TRASLACIÓN INVARIANTES. · ESPACIOS NORMADOS. NORMAS EQUIVALENTES, SUMAS DE ESPACIOS, ESPACIOS COCIENTES. ESPACIOS DE BANACH. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO NORMADO. · ESPACIOS B(S), C[0,1], L1, LP, P > 1, ESPACIOS WM,P DE SOBOLEV. DESIGUALDAD DE HOLDER. · ESPACIOS SEPARABLES. BASES DE SCHAUDER. LEMA DE RIESZ SOBRE LA EXISTENCIA DE VECTORES CASI ORTOGONALES EN ESPACIOS NORMADOS. NO COMPACIDAD DE LA ESFERA UNITARIA EN LOS ESPACIOS DE DIMENSIÓN INFINITA. · NORMAS ESTRICTAMENTE CONVEXAS (O ESTRICTAMENTE SUBADITIVAS) Y UNIFORMEMENTE CONVEXAS, RELACIÓN ENTRE ESTOS CONCEPTOS. EJEMPLO DE LA DISTANCIA NO ALCANZABLE ENTRE UN PUNTO Y UN SUBESPACIO CERRADO. · DISTANCIA ENTRE UN CONJUNTO CERRADO CONVEXO Y UN PUNTO EN UN ESPACIO DE BANACH UNIFORMEMENTE CONVEXO (CON APLICACIONES A ESPACIOS DE HILBERT). · ISOMETRÍAS. TEOREMA DE MAZUR-ULAM. UN EJEMPLO: ISOMETRÍAS DE C0. · PRODUCTO ESCALAR, SUS PROPIEDADES. DESIGUALDAD DE SCHWARZ. ESPACIOS DE HILBERT. COMPLEMENTO ORTOGONAL A UN SUBESPACIO CERRADO. · ESPACIO DUAL H* DE FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS. TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ-FRECHET. LEMA DE LAX-MILGRAM. · SISTEMAS Y BASES ORTONORMALES. EXISTENCIA DE BASES ORTONORMALES EN ESPACIOS DE HILBERT. DESIGUALDAD DE BESSEL. IDENTIDAD DE PARSEVAL. SERIES DE FOURIER EN H. · DESCRIPCIÓN DE ESPACIOS SEPARABLES DE HILBERT. MÉTODO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDT. · MEDIDAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS CON RESPECTO A LA MEDIDA DADA, 2 DEFINICIONES. TEOREMA DE RADON-NIKODYM. · ESPACIO DUAL X*, SU COMPLETITUD. TEOREMA DE KAKUTANI. 4 TEOREMAS SOBRE LA EXTENSIÓN DE FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS. “SPANNING CRITERION”. · ESPACIOS REFLEXIVOS: EJEMPLOS. TEOREMA DE MILMAN (CONVEXIDAD UNIFORME IMPLICA REFLEXIVIDAD). TEOREMA DE CLARKSON, LA PRIMERA DESIGUALDAD DE CLARKSON (PARA P >2). ESPACIOS DUALES A LP, P ≥1. · NO REFLEXIVIDAD DE ESPACIOS C[A,B], L1(R) CON SUS NORMAS CANÓNICAS. ESPACIOS QUE TIENEN SUS ESPACIOS DUALES SEPARABLES. SUBESPACIOS CERRADOS DE ESPACIOS REFLEXIVOS. NORMA DE UN FUNCIONAL EN EL ESPACIO REFLEXIVO. · FUNCIÓN DE SOPORTE DE UN CONJUNTO EN EL ESPACIO NORMADO, SUS PROPIEDADES. ENVOLVENTE CONVEXA CERRADA DE UN CONJUNTO, SU DESCRIPCIÓN EN TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN DE SOPORTE. · TEOREMAS DE APROXIMACIÓN DE MUNTZ Y DE RUNGE. · CONVERGENCIA DÉBIL Y DÉBIL-*: EJEMPLOS. TEOREMA DE SCHUR (CONVERGENCIA DÉBIL EN L1(R)). · TEOREMA DE TOEPLITZ (CONVERGENCIA HACIA LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC). TEOREMA DE TOEPLITZ PARA LAS SUCESIONES. TEOREMA DE STOLZ. · TEOREMA DE BANACH-STEINHAUS (EL PRINCIPIO DE ACOTACIÓN UNIFORME) Y SUS APLICACIONES. · 1R TEOREMA DE MAZUR (CONJUNTO CONVEXO CERRADO EN NORMA ES CERRADO CON RESPECTO A LA CONVERGENCIA DÉBIL). RELACIÓN ENTRE LA ENVOLVENTE CONVEXA CERRADA DE UN CONJUNTO A Y LA ENVOLVENTE CONVEXA SECUENCIALMENTE DÉBILMENTE CERRADA DE A. 2DO TEOREMA DE MAZUR (RELACIÓN ENTRE LA CONVERGENCIA DÉBIL Y CONVERGENCIA FUERTE DE COMBINACIONES CONVEXAS). · COMPACIDAD DÉBIL SECUENCIAL DE UNA BOLA CERRADA UNITARIA EN UN ESPACIO REFLEXIVO. TEOREMA DE EBERLEIN-SMULIAN. DISTANCIA ENTRE UN CONJUNTO CERRADO CONVEXO Y UN PUNTO EN UN ESPACIO REFLEXIVO. · COMPACIDAD DÉBIL-* SECUENCIAL. TEOREMA DE HELLY. RELACIÓN ENTRE LA CONVERGENCIA DÉBIL Y DÉBIL-* EN X*. · EL MÉTODO DE GALERKIN. TEOREMA DE HERGLOTZ-RIESZ. · TOPOLOGÍAS DÉBIL Σ(X,X*) Y DÉBIL-* Σ(X*,X), DESCRIPCIÓN DE SUS BASES, PROPIEDAD DE SEPARACIÓN DE HAUSDORFF. LA CLAUSURA DE LA ESFERA UNITARIA EN Σ(X,X*), EN UN ESPACIO NORMADO DE DIMENSIÓN INFINITA. · LA CLAUSURA DÉBIL DE UN CONJUNTO CONVEXO Y CERRADO (EN TOPOLOGÍA DE NORMA). TEOREMA DE BANACH-ALAOGLU. UN CRITERIO DE COMPACIDAD DE CONJUNTOS CERRADOS EN LA TOPOLOGÍA DÉBIL-* Σ (X*,X). · TEOREMA DE KAKUTANI (EL CRITERIO DE COMPACIDAD DE UNA BOLA UNITARIA EN LA TOPOLOGÍA DÉBIL Σ(X,X*)). TEOREMA DE GOLDSTINE. · ESPACIOS LINEALES TOPOLÓGICOS LOCALMENTE CONVEXOS. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN DE CONJUNTOS POR FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS. CLAUSURA DÉBIL DE CONJUNTOS CONVEXOS. · TEOREMA DE CARATHEODORY. THEOREMA DE KREIN-MILMAN. · ESPACIO DE OPERADORES LINEALES CONTINUOS, SU COMPLETITUD. EL OPERADOR INDUCIDO [M]: X/KER M à Y, SU NORMA. PROPIEDADES DE LA IMAGEN R(M) = MX EN EL CASO CUANDO CODIM R(M) ES FINITA. EL OPERADOR CONJUGADO M*: Y* à X*, SU NORMA. OPERADOR LINEALES CERRADOS, EJEMPLOS. · EL PRINCIPIO DE BANACH DE APLICACIÓN ABIERTA. TEOREMA DE BANACH SOBRE EL OPERADOR INVERSO. TEOREMA SOBRE LA GRAFICA CERRADA, SUS APLICACIONES. · TEOREMA DE HELLINGER–TOEPLITZ. PROYECTORES Y SUS PROPIEDADES |
Modalidad de evaluación |
2 PRUEBAS, TAREAS SEMANALES, UNA EXPOSICION. LA NOTA FINAL SE CALCULARÁ PONDERANDO EN UN 70% EL PROMEDIO DE NOTAS DE DOS PRUEBAS, EN UN 15% EL PROMEDIO DE NOTAS DE 10-12 TAREAS Y EN UN 15% LA NOTA OBTENIDA EN LA EXPOSICION. |
Bibliografía |
· H. BREZIS, “FUNCTIONAL ANALYSIS, SOBOLEV SPACES ANDPARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ». UNIVERSITEXT. SPRINGER, NEW YORK, 2011. · P.D. LAX, “FUNCTIONAL ANALYSIS, FIRST EDITION”, JOHN WILEY & SONS, 2002 |